Rođen je 1975. godine u Pančevu. Završio je srednju muzičku školu Kornelije Stanković u Beogradu, nakon čega je nastavio svoje školovanje na konzervatorijumu Žorž Bize u Parizu. Na CNR-u u Parizu, diplomirao je sa najvišim ocenama. Dve godine kasnije magistrirao je napariskoj Ecole Normal, a 2008. godine magistrirao je i na Akademiji umetnosti u Novom Sadu. Doktorirao je na Fakultetu muzičke umetnosti u Beogradu i dobitnik je nagrade Bruno Brun kao student koji je završio doktorske studije sa najboljim uspehom.
Klenkovski je lauerat brojnih takmičenja u zemlji i inostranstvu od kojih su najznačajnije prve nagrade na međunarodnom takmičenju Leopold Belan u Parizu, međunarodnom takmičenju u Pikardiji, Saveznom takmičenju u Ljubljani, kao i prva specijalna nagrada na Međunarodnom takmičenju u Parizu i treća nagrada na Međunarodnom takmičenju muzičke omladine u Beogradu. Nastupao je kao solista sa Kraljevskim orkestrom iz Brisela, Filharmonijom nacija iz Nemačke, Beogradskom filharmonijom, Orkestrom RTS-a, Simfonijskim orkestrom iz Niša, beogradskim ansamblom Dušan Skovran, orkestrom Gudači svetog Đorđa, Crnogorskim Simfonijskim Orkestrom, Simfonijskim orkestrom iz Harbina, itd. Od 2011.godine član je ansambla Gradilište. Osnivač je i član Duvačkog kvinteta Beogradske filharmonije, kao i Beogradskog duvačkog trija sa kojima nastupa u zemlji i inostranstvu, pri čemu se izdvajaju gostovanja u Španiji, Rusiji, Kini, Nemačkoj, Francuskoj, Sloveniji, Austriji, Švajcarskoj, Italiji, Grčkoj, Slovačkoj, Češkoj, Americi i Indiji.
Veljko Klenkovski je do 2002. godine nastupao kao prvi klarinetista orkestra Filharmonije nacija u Nemačkoj, kao i prvi klarinetista kamerne opere Madlenianum I orkestra RTS u Beogradu. Od 2002. godine je solo klarinetista Beogradske filharmonije I ujedno prvi klarinetista Orkestra Narodnog pozorišta u Beogradu od 2015.godine. Nastupao je sa simfonijskim orkestrom Bruno Valter, Kiparskim nacionalnim Orkestrom, kao i sa orkestrima iz Harbina i Tjanjina.
Klenkovski se aktivno bavi i pedagoškim radom. Držao je majstorske kurseve u Francuskoj, Srbiji, Sloveniji, Kini, Hrvatskoj, Rusiji i Crnoj Gori. Član je žirija na mnogobrojnim takmičenjima u zemlji i inostranstvu. Dobitnik je Oktobarske nagrade i nagrade za pedagoški rad.
Od 2016. godine radi kao docent na Fakultetu muzičke umetnosti u Beogradu.
Veljko Klenkovski je Buffet Crampon i Vandoren Artist. Svira Buffet Crampon Legende instrumente.